Dans les articles précédents j'ai posé les bases mathématiques obtenues par le calcul lagrangien dans le cas où la position et le temps sont liés par une bijection. Nous allons voir comment passer de ces équations à la réalité géométrique, et plus généralement, comment il faut les utiliser.
Succession d'intervalles bijectifs
Tout d'abord il faut répondre à une interrogation bien naturelle : que se passe-t-il si la trajectoire d'un mobile n'est pas une bijection ? Et bien il faut simplement remarquer que toute trajectoire classique peut toujours être décomposée en une succession d'intervalles, généralement compris entre un extremum et un point d'inflexion, dans lesquels la position et le temps sont liés par une bijection. La figure ci-dessous le montre.
Toute trajectoire classique peut toujours être décomposée en une succession d'intervalles, généralement compris entre un extremum et un point d'inflexion, dans lesquels la position et le temps sont liés par une bijection.
Par conséquent le mobile se trouve, toujours et forcément, dans un intervalle où la position et le temps sont liés par une bijection. J'appelle ces intervalles « intervalles bijectifs ». Notons que chacun de ces intervalle à ses caractéristiques propres, mais qu'il faut assurer la continuité à leurs bornes. Ainsi la vitesse finale d'un premier intervalle sera la vitesse initiale du second, pareil pour la position. Jusqu'ici j'avais posé la dépendance de la position et du temps de façon théorique. Or, on voit qu'en pratique ils sont bien liés, géométriquement, par une bijection.
Mécanique et TCK
Voyons maintenant comment utiliser les équations de trajectoires que j'ai décrites dans mon article précédent, afin d'obtenir le TCK, ou Théorème de la Cinématique Keplerienne. La première équation est la plus simple, elle impose une vitesse constante $\dot q = \dot q_0 = cste$. Ajoutons à cela que, comme l'expliquent L. Landau et E. Lifchitz, dans Mécanique, à cause de l'isotropie de l'espace, la fonction de Lagrange ne peut dépendre que des modules des vecteurs position et vitesse : $L=L(\|\vec r\|,\|\vec v\|) = L(r,v)$. Pour cette étude mécanique on va donc vérifier $q=\| \vec r\|=r$ et $\dot q=\| \vec v\|=v$. Par suite les lagrangiens B et C, décrits dans mon article précédent seront donnés par :
Bien sûr, ces lagrangiens sont constants si $r$ et $v$ sont constants. Notons aussi que si on souhaite donner une description 3D, on peut écrire 3 de ces équations, une pour chaque dimension x, y et z.
On voit tout d'abord que, dans ces dernières formules, la vitesse ne peut pas être nulle. C'est effectivement le cas dans la nature, où il n'existe aucun objet dont la vitesse soit nulle. Un observateur immobile à la surface de la Terre, est en rotation à cause de la rotation de la planète sur elle même, de la rotation de la planète autour du soleil, de la rotation du soleil dans la galaxie, etc. Par conséquent la description complète de ses propriétés physiques nécessitera forcément de prendre en compte ces mouvements. C'est aussi ce que stipule la loi de rotation universelle, dont j'ai parlé dans un précédent article, qui impose que tout objet soumis à la gravitation, subit une rotation, et possède donc une vitesse de rotation non nulle, $\vec v_R \neq \vec 0$. Or tout objet dans l'univers subit la gravitation.
Il n'a pas été trouvé non plus d'objets immobiles dans le monde microscopique de l'atome. La seule façon d'immobiliser totalement une particule, si on oublie qu'elle est en mouvement comme l'observateur précédent, serait en effet de la soumettre au 0 absolu, mais nous ne connaissons aucun objet à cette température extrême.
Il en va de même pour la position, qui ne peut pas être nulle. Même si nous plaçons une particule en 0, cette dernière aura tout de même une certaine dimension, un certain volume. Par conséquent la description complète des propriétés physiques de cette particule nécessitera forcément l'utilisation d'une dimension d'espace, donc un r non nul.
Passons maintenant aux conséquences de la constance de la vitesse. La constance du module du vecteur vitesse impose que la relation suivante soit vérifiée : $\vec v . \vec \gamma = 0$ , où $\vec \gamma$ est l'accélération. Cela signifie qu'il ne peut exister que deux mouvements : le mouvement circulaire uniforme (MCU), où la vitesse et l'accélération sont perpendiculaires, et le mouvement de translation uniforme (MTU), où l'accélération est nulle. Tout mouvement ne pourra être que la superposition de ces deux seuls mouvements élémentaires. Et c'est bien ce qui est observé avec le TCK, qui est l'addition d'un MCU et d'un MTU.
Thermodynamique
Voyons enfin comment notre étude lagrangienne permet de retrouver les propriétés fondamentales de la thermodynamique. Pour ce faire, nous n'étudions plus la position d'une particule, mais le volume d'un système. Par conséquent le lagrangien B, ne dépendant que de la variable d'espace, ne dépend ici que du volume :
La relation (5), dans mon article précédent, devient alors $\frac{\partial B}{\partial V} V = \alpha = cste$. Mais on sait que $\frac{\partial B}{\partial V}$ n'est autre que l'opposée de la force, et en l'occurrence la force qui s'exerce sur un volume est la pression $P$. On obtient donc $PV=\alpha$. Remarquant que $\alpha$ possède la dimension d'une énergie, on voit que cette dernière relation n'est autre que la loi des gaz parfaits.
La relation (2) nous permet aussi de retrouver la formule de l'entropie de Boltzmann. En effet, imaginons un système de volume $V$, constitué de N sous-systèmes de volume $V_n$, soit $V = \sum_1^N V_n$. Chaque sous-système doit vérifier l'équation (2), et donc $V_n = V_{n0} e^{\Delta B_n / \alpha}$ , par conséquent, pour le volume complet on doit avoir
On voit dans cette expression que le rapport $g_n = \frac{V_{n0}}{V_0}$ est le poids statistique du sous-système n. Puisque $\alpha$ possède la dimension d'une énergie, posons $\alpha=kT$ , où $k$ est la constante de Boltzmann, et $T$ la température. Dans ce cas la relation (3) mène à la formule de Boltzmann :
Finissons en montrant que nos équations lagrangiennes peuvent aussi prévoir la loi des équilibres chimiques. Pour ce faire imaginons N systèmes de volume respectif $V_n$, mais ayant chacun une constante énergétique $\alpha_n$. Dans ce cas le lagrangien total sera donné par
Cette dernière formule est celle des équilibres chimiques lorsque $\Delta B = cste$
Epilogue
Dans cette dernière série d'articles j'ai montré les conséquences de la dépendance du temps et de la position sur la mécanique lagrangienne. A part ce changement d'un des postulats de la mécanique classique, la méthode utilisée est celle décrite dans Mécanique, par L. Landau et E. Lifchitz. Le résultat majeur est qu'il devient possible de déterminer analytiquement la structure mathématique du lagrangien. Cette structure, logarithmique, est cohérente avec les grandes lois de la thermodynamique, mais elle nous permet aussi de prévoir que les deux seuls mouvements élémentaires possibles sont la rotation et la translation, toutes deux uniformes, et donc de prévoir l'existence du TCK, que vérifient tous les astres en première approximation.
Je n'ai jamais posé aucun postulat nouveau par rapport à ceux de la mécanique classique, mais j'en ai modifié un, celui de l'indépendance de la position et du temps, ce qui rend inutile un second postulat, celui de moindre action. A part cela, je n'ai fait que tirer les conséquences mathématiques des équations. Par conséquent, si je me trompe, c'est soit que la position et le temps sont indépendants, et alors on peut occuper deux positions simultanément, soit que j'ai fait des erreurs de mathématiques, et il sera simple de le démontrer.
HCl
