Détermination analytique du lagrangien

Les bases des équations du mouvement ayant été posées, il est maintenant possible d'en déduire le lagrangien, de façon analytique. Il est même possible de déterminer les seuls trois types de mouvements élémentaires possibles dans l'univers.

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Commençons par rappeler les résultats essentiels de mon article précédent.
A cause de la dépendance de la position et du temps, il est possible d'écrire le lagrangien sous différentes formes, ne dépendant que d'une seule variable (le temps, la position, la vitesse ou toute autre dérivée/intégrale d'ordre n de la position) :

$L(\vec v, \vec r, t) = A(t) = B(\vec r) = C(\vec v) = D(\chi) = ...$ avec $\chi = \int q dt$(1)

Menant le calcul de variation sur ces lagrangiens, il apparaît notamment deux équations, correspondant aux équations de Lagrange classiques. On a :

$\frac{\partial B}{\partial q} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \right) $(2)

et

$\frac{\partial D}{\partial \chi} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial B}{\partial q} \right) $(3)

Il existera autant d'équations de ce type qu'il y aura de variables nécessaires à décrire le mouvement. Nous allons voir que ces formules nous permettent de déterminer la structure mathématique du lagrangien, sans avoir à la postuler.

Détermination du lagrangien

Dérivons les équations (1) de $B$ et $C$ par rapport au temps, on obtient :

$\frac{\partial B}{\partial q} \dot q = \frac{\partial C}{\partial \dot q} \ddot q $

En introduisant la relation (2) dans cette équation, on obtient finalement $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \dot q \right) = 0$, ou encore

$ \frac{\partial C}{\partial \dot q} \dot q = \beta = cste$(4)

On peut procéder de même avec $D$ et $B$, pour obtenir :

$ \frac{\partial B}{\partial q} q = \alpha = cste$(5)

Il y a bien sûr autant de ces équations qu'il existe de variables nécessaires à décrire le mouvement.

L'intégration des équations (4) et (5), ne dépendant que d'une seule variable, donne:

$C = C_{0} +\beta \ln \left( \frac{\dot q}{\dot q_0}\right)$ et $B = B_{0} +\alpha \ln \left( \frac{q}{q_0}\right)$ (6)

Telles sont les expressions analytiques du lagrangien, donné par le calcul de variation. Il faut remarquer cependant qu'en mécanique classique (MC) usuelle, lorsqu'on utilise le lagrangien $L(\vec v, \vec r, t)$, il n'est pas possible d'intégrer les équations du mouvement, pour obtenir la structure analytique du lagrangien, comme nous venons de le faire ici. Il faut donc le postuler, c'est ce que la MC fait en posant $L = m v^2/2 -U(r)$. Certes ce postulat semble correct, à condition de respecter les hypothèses qui l'accompagnent, et il donne de bons résultats expérimentaux, mais cela reste un postulat, c'est à dire un énoncé indémontrable.
En revanche, nous n'avons pas un tel choix de postulat à opérer dans notre cas de figure. Les lagrangiens (6) sont imposés par les lois mathématiques, ils en découlent.

Je ne souhaite pas entammer ici une discussion thermodynamique, mais il faut tout de même remarquer que les équations (6) ont très exactement la forme de l'énergie libre de Helmholz en physique statistique. Cela tombe bien, puisque les lagrangiens ont, eux aussi, une dimension d'énergie. J'essayerai de revenir sur cela, plus tard dans ce blog, car ce fait n'est pas une coïncidence fortuite.

Formule analytique de la position

Nous avons vu que $B=C$, par conséquent les relations (6) nous permettent d'écrire :

$\frac{\dot q}{\dot q_0} = \left( \frac{q}{q_0} \right)^{\alpha / \beta}$(7)

Il s'agit d'une équation différentielle, qu'on peut résoudre dans 3 situations possibles :

• si $\alpha = 0$, on obtient $q = \dot q_0 t +cste$,

• si $\alpha = \beta$, on obtient $q=q_0 e^{\psi t + \rho}$, où $\psi$ et $\rho$ sont des constantes réelles ou complexes,(8)

• si $\alpha \ne \beta$, on obtient $q = q_0 \left[a+\frac{\dot q_0}{q_0}(1-\alpha / \beta)t \right]^{\frac 1{1-\alpha / \beta}}$, où $a$ est une constante.

Ainsi nous voyons que seulement 3 types de mouvements sont possibles. Les autres mouvements ne peuvent être que l'addition de plusieurs de ces mouvements élémentaires. Cela peut paraître étrange, mais notons que la seconde équation, (8), prévoit une exponetielle complexe, or comme on le sait, toute trajectoire peut être reproduite par l'addition d'exponentielles complexes, c'est la série de Fourier.

Voilà. Nous sommes maintenant équipés pour déterminer si, oui ou non, la mécanique lagrangienne prévoit le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK). C'est ce que je ferai dans mon prochain article.

HCl

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