Maintenant que j'ai énoncé le théorème de la cinématique keplerienne (TCK), je vais vous montrer certains des avantages qu'il procure, au regard de ce que nous savons faire, actuellement, avec les lois de Newton (LN).
Avant tout il faut constater que le TCK et les LN sont structurellement différents. En effet le TCK est une équation différentielle du premier degré, liant la vitesse à la position, tandis que les LN mènent à une équation différentielle du second degré, liant la position et l'accélération. On peut résumer ainsi :
Théorème de la Cinématique Keplerienne | $\vec v = \vec {\omega} \land \vec r + \vec v_T$ |
Lois de la gravitation de Newton | $\vec {\gamma} = \frac{GM}{r^3} \vec r $ |
Les LN sont suffisantes pour traiter des trajectoires et des accélérations, en revanche elles ne parviennent pas à donner une équation analytique de la vitesse. Au contraire, le TCK donne la vitesse, par définition, et l'accélération, directement par dérivation par rapport au temps. Quand à la trajectoire, le TCK, comme nous allons le voir, la calcule aisément. De cela il résulte que le TCK fait mieux que les LN lorsqu'il s'agit de déterminer instantanément la trajectoire d'un mobile, quand on connaît uniquement sa position et sa vitesse à un instant t. Montrons cela plus avant.
L'avantage du TCK
Imaginez donc un astrophysicien qui vient de découvrir une exoplanète. Il n'en a qu'une photo, donnant sa position $\vec r$, et il possède sa vitesse $\vec v$, déterminée par exemple par effet Doppler. On suppose qu'il connaît aussi la masse de l'étoile autour de laquelle elle gravite, par déduction de sa luminosité par exemple. S'il ne possède que les LN, l'astrophysicien ne pourra pas calculer la trajectoire complète de la planète, avant qu'elle ne passe par un de ses points caractéristiques (apogée et périgée). Si cette Planète est un équivalent de notre Neptune, qui fait le tour du Soleil en près de 165 ans, notre pauvre scientifique devra attendre une vie entière avant de pouvoir calculer la trajectoire. C'est un gros inconvénient.
En revanche, avec le TCK, puisque nous connaissons $\vec r$ et $\vec v$, nous pouvons calculer $\vec L = \vec r \land \vec v$, et dès lors le module de la vitesse de rotation $v_R = \sqrt{GM/L}$. Nous savons aussi déterminer la direction du vecteur $\vec v_R$, car il est toujours perpendiculaire au rayon $\vec r$. Enfin, nous déduisons la valeur de la vitesse de translation $\vec v_T$ par la simple formule $\vec v_T = \vec v - \vec v_R$.
Maintenant que nous connaissons tout cela on peut calculer le paramètre de la conique, $p = GM/v_R^2$, et son excentricité, $e = v_T / v_R$. Dès lors nous avons tout ce qu'il nous faut pour calculer la trajectoire complète, instantanément.
Gros avantage pour le TCK, donc, en regard des LN. Bien sûr ce que je viens de vous raconter à propos de l'exoplanète peut être appliqué à d'autres problèmes. Pour les déchets spatiaux par exemple. En une « photo» on connaît immédiatement la trajectoire d'un débris, on peut donc placer un « camion poubelle » précisément pour le récupérer. Plus besoin de systèmes complexes, et coûteux, de suivi pour déterminer sa trajectoire. Autre application, militaire celle là, prévoir les trajectoires exactes de missiles intercontinentaux, bien avant qu'ils n'aient atteint leur apogée. Et cetera.
Nous verrons dans mon prochain billet qu'il existe un autre avantage considérable du TCK par rapport aux LN : le transfert spatial d'une orbite à une autre.
HCl
