Mécanique lagrangienne, TCK et thermodynamique

Si le temps et la position sont dépendants l'un de l'autre, la mécanique lagrangienne permet de prévoir l'existence du TCK, mais aussi des grandes lois de la thermodynamique.

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Dans les articles précédents j'ai posé les bases mathématiques obtenues par le calcul lagrangien dans le cas où la position et le temps sont liés par une bijection. Nous allons voir comment passer de ces équations à la réalité géométrique, et plus généralement, comment il faut les utiliser.

Succession d'intervalles bijectifs

Tout d'abord il faut répondre à une interrogation bien naturelle : que se passe-t-il si la trajectoire d'un mobile n'est pas une bijection ? Et bien il faut simplement remarquer que toute trajectoire classique peut toujours être décomposée en une succession d'intervalles, généralement compris entre un extremum et un point d'inflexion, dans lesquels la position et le temps sont liés par une bijection. La figure ci-dessous le montre.

Toute trajectoire classique peut toujours être décomposée en une succession d'intervalles, généralement compris entre un extremum et un point d'inflexion, dans lesquels la position et le temps sont liés par une bijection.

Par conséquent le mobile se trouve, toujours et forcément, dans un intervalle où la position et le temps sont liés par une bijection. J'appelle ces intervalles « intervalles bijectifs ». Notons que chacun de ces intervalle à ses caractéristiques propres, mais qu'il faut assurer la continuité à leurs bornes. Ainsi la vitesse finale d'un premier intervalle sera la vitesse initiale du second, pareil pour la position. Jusqu'ici j'avais posé la dépendance de la position et du temps de façon théorique. Or, on voit qu'en pratique ils sont bien liés, géométriquement, par une bijection.

Mécanique et TCK

Voyons maintenant comment utiliser les équations de trajectoires que j'ai décrites dans mon article précédent, afin d'obtenir le TCK, ou Théorème de la Cinématique Keplerienne. La première équation est la plus simple, elle impose une vitesse constante $\dot q = \dot q_0 = cste$. Ajoutons à cela que, comme l'expliquent L. Landau et E. Lifchitz, dans Mécanique, à cause de l'isotropie de l'espace, la fonction de Lagrange ne peut dépendre que des modules des vecteurs position et vitesse : $L=L(\|\vec r\|,\|\vec v\|) = L(r,v)$. Pour cette étude mécanique on va donc vérifier $q=\| \vec r\|=r$ et $\dot q=\| \vec v\|=v$. Par suite les lagrangiens B et C, décrits dans mon article précédent seront donnés par :

$B = B_0 +\alpha \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$ et $C = C_0 +\beta \ln \left( \frac{v}{v_0} \right)$ (1)

Bien sûr, ces lagrangiens sont constants si $r$ et $v$ sont constants. Notons aussi que si on souhaite donner une description 3D, on peut écrire 3 de ces équations, une pour chaque dimension x, y et z.

On voit tout d'abord que, dans ces dernières formules, la vitesse ne peut pas être nulle. C'est effectivement le cas dans la nature, où il n'existe aucun objet dont la vitesse soit nulle. Un observateur immobile à la surface de la Terre, est en rotation à cause de la rotation de la planète sur elle même, de la rotation de la planète autour du soleil, de la rotation du soleil dans la galaxie, etc. Par conséquent la description complète de ses propriétés physiques nécessitera forcément de prendre en compte ces mouvements. C'est aussi ce que stipule la loi de rotation universelle, dont j'ai parlé dans un précédent article, qui impose que tout objet soumis à la gravitation, subit une rotation, et possède donc une vitesse de rotation non nulle, $\vec v_R \neq \vec 0$. Or tout objet dans l'univers subit la gravitation.
Il n'a pas été trouvé non plus d'objets immobiles dans le monde microscopique de l'atome. La seule façon d'immobiliser totalement une particule, si on oublie qu'elle est en mouvement comme l'observateur précédent, serait en effet de la soumettre au 0 absolu, mais nous ne connaissons aucun objet à cette température extrême.

Il en va de même pour la position, qui ne peut pas être nulle. Même si nous plaçons une particule en 0, cette dernière aura tout de même une certaine dimension, un certain volume. Par conséquent la description complète des propriétés physiques de cette particule nécessitera forcément l'utilisation d'une dimension d'espace, donc un r non nul.

Passons maintenant aux conséquences de la constance de la vitesse. La constance du module du vecteur vitesse impose que la relation suivante soit vérifiée : $\vec v . \vec \gamma = 0$ , où $\vec \gamma$ est l'accélération. Cela signifie qu'il ne peut exister que deux mouvements : le mouvement circulaire uniforme (MCU), où la vitesse et l'accélération sont perpendiculaires, et le mouvement de translation uniforme (MTU), où l'accélération est nulle. Tout mouvement ne pourra être que la superposition de ces deux seuls mouvements élémentaires. Et c'est bien ce qui est observé avec le TCK, qui est l'addition d'un MCU et d'un MTU.

Thermodynamique

Voyons enfin comment notre étude lagrangienne permet de retrouver les propriétés fondamentales de la thermodynamique. Pour ce faire, nous n'étudions plus la position d'une particule, mais le volume d'un système. Par conséquent le lagrangien B, ne dépendant que de la variable d'espace, ne dépend ici que du volume :

$B = B_0 = \alpha \ln (V / V_0)$ ou encore $V = V_0 e^{\Delta B_n / \alpha}$(2)

La relation (5), dans mon article précédent, devient alors $\frac{\partial B}{\partial V} V = \alpha = cste$. Mais on sait que $\frac{\partial B}{\partial V}$ n'est autre que l'opposée de la force, et en l'occurrence la force qui s'exerce sur un volume est la pression $P$. On obtient donc $PV=\alpha$. Remarquant que $\alpha$ possède la dimension d'une énergie, on voit que cette dernière relation n'est autre que la loi des gaz parfaits.

La relation (2) nous permet aussi de retrouver la formule de l'entropie de Boltzmann. En effet, imaginons un système de volume $V$, constitué de N sous-systèmes de volume $V_n$, soit $V = \sum_1^N V_n$. Chaque sous-système doit vérifier l'équation (2), et donc $V_n = V_{n0} e^{\Delta B_n / \alpha}$ , par conséquent, pour le volume complet on doit avoir

$\Delta B = \alpha \ln (V/V_0) = \alpha \ln \left( \sum_1^N \frac{V_{n0}}{V_0} e^{\Delta B_n / \alpha}\right)$ (3)

On voit dans cette expression que le rapport $g_n = \frac{V_{n0}}{V_0}$ est le poids statistique du sous-système n. Puisque $\alpha$ possède la dimension d'une énergie, posons $\alpha=kT$ , où $k$ est la constante de Boltzmann, et $T$ la température. Dans ce cas la relation (3) mène à la formule de Boltzmann :

$S = k \ln \left( \Gamma \right)$

où $\Gamma$ est la fonction de partition, et $S=\Delta B /T$ est l'entropie. $\Delta B$ est donc l'énergie libre.

Finissons en montrant que nos équations lagrangiennes peuvent aussi prévoir la loi des équilibres chimiques. Pour ce faire imaginons N systèmes de volume respectif $V_n$, mais ayant chacun une constante énergétique $\alpha_n$. Dans ce cas le lagrangien total sera donné par

$B = \sum_1^N B_n = \sum_1^N B_{n0} + \sum_1^N \alpha_n \ln \left( \frac{V_n}{V_{n0}} \right)$, soit encore $\prod_1^N \left( \frac{V_n}{V_{n0}} \right)^{\alpha _n / \alpha} = e^{\Delta B / \alpha}$.

Cette dernière formule est celle des équilibres chimiques lorsque $\Delta B = cste$

Epilogue

Dans cette dernière série d'articles j'ai montré les conséquences de la dépendance du temps et de la position sur la mécanique lagrangienne. A part ce changement d'un des postulats de la mécanique classique, la méthode utilisée est celle décrite dans Mécanique, par L. Landau et E. Lifchitz. Le résultat majeur est qu'il devient possible de déterminer analytiquement la structure mathématique du lagrangien. Cette structure, logarithmique, est cohérente avec les grandes lois de la thermodynamique, mais elle nous permet aussi de prévoir que les deux seuls mouvements élémentaires possibles sont la rotation et la translation, toutes deux uniformes, et donc de prévoir l'existence du TCK, que vérifient tous les astres en première approximation.

Je n'ai jamais posé aucun postulat nouveau par rapport à ceux de la mécanique classique, mais j'en ai modifié un, celui de l'indépendance de la position et du temps, ce qui rend inutile un second postulat, celui de moindre action. A part cela, je n'ai fait que tirer les conséquences mathématiques des équations. Par conséquent, si je me trompe, c'est soit que la position et le temps sont indépendants, et alors on peut occuper deux positions simultanément, soit que j'ai fait des erreurs de mathématiques, et il sera simple de le démontrer.

HCl

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Détermination analytique du lagrangien

Les bases des équations du mouvement ayant été posées, il est maintenant possible d'en déduire le lagrangien, de façon analytique. Il est même possible de déterminer les seuls trois types de mouvements élémentaires possibles dans l'univers.

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Commençons par rappeler les résultats essentiels de mon article précédent.
A cause de la dépendance de la position et du temps, il est possible d'écrire le lagrangien sous différentes formes, ne dépendant que d'une seule variable (le temps, la position, la vitesse ou toute autre dérivée/intégrale d'ordre n de la position) :

$L(\vec v, \vec r, t) = A(t) = B(\vec r) = C(\vec v) = D(\chi) = ...$ avec $\chi = \int q dt$(1)

Menant le calcul de variation sur ces lagrangiens, il apparaît notamment deux équations, correspondant aux équations de Lagrange classiques. On a :

$\frac{\partial B}{\partial q} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \right) $(2)

et

$\frac{\partial D}{\partial \chi} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial B}{\partial q} \right) $(3)

Il existera autant d'équations de ce type qu'il y aura de variables nécessaires à décrire le mouvement. Nous allons voir que ces formules nous permettent de déterminer la structure mathématique du lagrangien, sans avoir à la postuler.

Détermination du lagrangien

Dérivons les équations (1) de $B$ et $C$ par rapport au temps, on obtient :

$\frac{\partial B}{\partial q} \dot q = \frac{\partial C}{\partial \dot q} \ddot q $

En introduisant la relation (2) dans cette équation, on obtient finalement $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \dot q \right) = 0$, ou encore

$ \frac{\partial C}{\partial \dot q} \dot q = \beta = cste$(4)

On peut procéder de même avec $D$ et $B$, pour obtenir :

$ \frac{\partial B}{\partial q} q = \alpha = cste$(5)

Il y a bien sûr autant de ces équations qu'il existe de variables nécessaires à décrire le mouvement.

L'intégration des équations (4) et (5), ne dépendant que d'une seule variable, donne:

$C = C_{0} +\beta \ln \left( \frac{\dot q}{\dot q_0}\right)$ et $B = B_{0} +\alpha \ln \left( \frac{q}{q_0}\right)$ (6)

Telles sont les expressions analytiques du lagrangien, donné par le calcul de variation. Il faut remarquer cependant qu'en mécanique classique (MC) usuelle, lorsqu'on utilise le lagrangien $L(\vec v, \vec r, t)$, il n'est pas possible d'intégrer les équations du mouvement, pour obtenir la structure analytique du lagrangien, comme nous venons de le faire ici. Il faut donc le postuler, c'est ce que la MC fait en posant $L = m v^2/2 -U(r)$. Certes ce postulat semble correct, à condition de respecter les hypothèses qui l'accompagnent, et il donne de bons résultats expérimentaux, mais cela reste un postulat, c'est à dire un énoncé indémontrable.
En revanche, nous n'avons pas un tel choix de postulat à opérer dans notre cas de figure. Les lagrangiens (6) sont imposés par les lois mathématiques, ils en découlent.

Je ne souhaite pas entammer ici une discussion thermodynamique, mais il faut tout de même remarquer que les équations (6) ont très exactement la forme de l'énergie libre de Helmholz en physique statistique. Cela tombe bien, puisque les lagrangiens ont, eux aussi, une dimension d'énergie. J'essayerai de revenir sur cela, plus tard dans ce blog, car ce fait n'est pas une coïncidence fortuite.

Formule analytique de la position

Nous avons vu que $B=C$, par conséquent les relations (6) nous permettent d'écrire :

$\frac{\dot q}{\dot q_0} = \left( \frac{q}{q_0} \right)^{\alpha / \beta}$(7)

Il s'agit d'une équation différentielle, qu'on peut résoudre dans 3 situations possibles :

• si $\alpha = 0$, on obtient $q = \dot q_0 t +cste$,

• si $\alpha = \beta$, on obtient $q=q_0 e^{\psi t + \rho}$, où $\psi$ et $\rho$ sont des constantes réelles ou complexes,(8)

• si $\alpha \ne \beta$, on obtient $q = q_0 \left[a+\frac{\dot q_0}{q_0}(1-\alpha / \beta)t \right]^{\frac 1{1-\alpha / \beta}}$, où $a$ est une constante.

Ainsi nous voyons que seulement 3 types de mouvements sont possibles. Les autres mouvements ne peuvent être que l'addition de plusieurs de ces mouvements élémentaires. Cela peut paraître étrange, mais notons que la seconde équation, (8), prévoit une exponetielle complexe, or comme on le sait, toute trajectoire peut être reproduite par l'addition d'exponentielles complexes, c'est la série de Fourier.

Voilà. Nous sommes maintenant équipés pour déterminer si, oui ou non, la mécanique lagrangienne prévoit le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK). C'est ce que je ferai dans mon prochain article.

HCl

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Dépendance de la position et du temps

En théorie vous pouvez passer en auto, à 200km/h, porte d'Orléans, à 18h, mais en théorie seulement. En pratique, à 18h, porte d'Orléans, vous ne dépasserez pas le 20km/h. votre vitesse dépend alors de l'heure qu'il est, à cause de votre position. Aucune indépendance ici entre la vitesse, la position et le temps.

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Comme je l'ai évoqué dans mon article précédent, je vais montrer ici que le second postulat de la mécanique classique (MC) est faux. C'est celui de l'indépendance de la vitesse, de la position et du temps.
La mécanique considère en effet qu'un mobile peut occuper une position donnée avec des vitesses différentes, à des heures différentes. Ou encore qu'il peut avoir une vitesse donnée à n'importe quelle position et n'importe quelle heure. Par conséquent elle postule que la vitesse, la position et le temps sont indépendants.

Du conditionnel, au présent

Regardons cela de plus près. Si j'occupe une position donnée à un temps donné, la MC me dit que je pourrais occuper une autre position au même instant. Certes, en théorie, je pourrais, si j'avais parcouru une autre trajectoire, c'est à dire si j'avais un autre passé. Mais en pratique ?

Pour répondre à cette question, il suffit de transformer l'énoncé précédent, du conditionnel, au présent de l'indicatif. Cela donne : si j'occupe une position donnée à un temps donné, la MC me dit que je peux occuper une autre position au même instant. A l'évidence cette proposition est fausse. En MC, un système ne peut occuper deux positions simultanément, l'expérience le prouve largement. Notons que cette phrase serait vraie en Mécanique Quantique, mais ce n'est pas ici mon propos.

En théorie vous pouvez passer à 200km/h porte d'Orléans, à 18h, mais en théorie seulement. Si vous voulez réaliser cela en pratique, vous devrez dépenser tellement d'énergie (achat d'une grosse voiture, détournement de la circulation, reprogrammation des feux, gendarmerie sur le pied de guerre, …) que vous ne serez plus du tout dans des conditions naturelles. Et si vous y parvenez un jour, il y a peu de chance qu'on vous laisse faire aussi le lendemain, pour montrer l'indépendance du temps.

Etant donné son histoire, un mobile ne peut occuper une position donnée, qu'à une vitesse et un instant donnés. Si on fait abstraction de l'histoire, c'est à dire des conditions initiales, en permettant qu'elles soient quelconques, on s'écarte de la réalité expérimentale. Un mobile, à tout instant, ne peut choisir aléatoirement une histoire quelconque. Il ne peut échapper à la sienne, et c'est à cause d'elle qu'à l'instant d'après il ne peut se trouver qu'en un lieu, et une vitesse, donnés.

Modification du second postulat

Nous devons donc considérer que la position et le temps ne sont pas indépendants, mais dépendent l'un de l'autre selon la formule : $\vec r = f(t)$ et $t = f^{-1} (\vec r)$.
En quoi consiste la fonction f, nous importe peu pour l'instant. Nous considérons simplement que le temps et la position sont liés par une bijection, car à chaque instant doit correspondre un temps, et vice versa, sauf à ce que le mobile … soit fixe, bien sûr.

La vitesse, qui est forcément une fonction de $\vec r$ et de $t$, peut alors s'écrire sous deux formes, l'une dépendant uniquement du temps, l'autre uniquement de la position. On a en effet

$\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = g(\vec r, t) = g(f(t),t) = \vec a(t)$
et
$\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = g(\vec r, t) = g(\vec r , f^-1 (\vec r)) = \vec b(\vec r)$

Les fonctions $\vec a$ et $\vec b$ sont deux expressions différentes de $\vec v$, ayant la même valeur. Telle est la conséquence de la dépendance de la position et du temps. Cela va avoir des conséquences sur la fonction de Lagrange.

Conséquences sur la mécanique lagrangienne

Nous avons vu, dans mon article précédent, que le lagrangien est la fonction mathématique sensée décrire toutes les propriétés physiques d'un système. Nous avons vu aussi qu'il doit dépendre a minima de la vitesse, de la position et du temps : $L=L(\vec v, \vec r, t)$. On voit dès lors, en procédant comme au paragraphe précédent, que le lagrangien peut avoir plusieurs écritures mathématiques différentes :

$L(\vec v, \vec r, t) = A(t) = B(\vec r) = C(\vec v)$

$A$, $B$ et $C$ sont trois écritures mathématiques possibles du lagrangien, ayant la même valeur que $L$, mais ne dépendant chacune que d'une seule variable, soit le temps, soit la position, soit la vitesse..

Si maintenant on opère une variation à $L$, on fera de même sur $A$, $B$ et $C$ :

$\delta L = \delta A = \delta B = \delta C$

On doit dès lors obtenir 3 séries d'équations, pour les trois dimension de l'espace, telles que :

$\frac{\partial L}{\partial q} \delta q +\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q = \frac{\partial A}{\partial t} \delta t = \frac{\partial B}{\partial q} \delta q = \frac{\partial C}{\partial \dot q} \delta \dot q$
avec $q=x,y,z$.

Opérons alors la variation de l'action, qui est l'intégrale du lagrangien par rapport au temps, et faisons le usuellement, c'est à dire en considérant que la variation de la variable $\delta q$ est nulle aux deux bornes de l'intervalle d'intégration, et que $\delta t$ est toujours nulle. On peut alors écrire :

$\delta S = \int_{t_0}^t \frac{\partial B}{\partial q} \delta q dt =\int_{t_0}^t \frac{\partial C}{\partial \dot q} \delta \dot q dt = \left[ \frac{\partial C}{\partial \dot q}\delta q \right]_{t_0}^t - \int_{t_0}^t \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \right)\delta q dt$

Remarquant que $d (\delta q) / dt = \delta \dot q$, on obtient une relation entre $B$ et $C$, sans devoir forcément imposer $\delta S = 0$, comme le réclame le troisième postulat de la mécanique classique (voir mon article précédent). Cette relation est :

$\frac{\partial B}{\partial q} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial C}{\partial \dot q} \right) $

Elle est proche de l'équation de Lagrange classique, mais elle n'est pas tout à fait identique. Son intérêt premier est qu'elle n'est pas seule.
En effet, la variation que nous venons de mener entre $B(q)$ et $C(\dot q)$, peut être menée identiquement entre deux autres lagrangiens, par exemple entre $D(\chi)$ et $B(q)$, où $\chi$ est l'intégrale de la position par rapport au temps, $\chi = \int q dt$, tout comme la vitesse est l'intégrale de l'accélération par rapport au temps, $\dot q = \int \ddot q dt$. On obtient alors la relation suivante :

$\frac{\partial D}{\partial \chi} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial B}{\partial q} \right) $

Ces deux dernières équations, remplaçant les équation de Lagrange, vont permettre de déterminer la structure mathématique du lagrangien, sans plus avoir à la postuler. C'est ce que je montrerai dans mon prochain article.

HCl

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Et maintenant, la physique

Si le TCK est bien une propriété de la nature, car il est vérifié expérimentalement, rien n'a été dit sur ses causes physiques. Pourquoi la nature choisit-elle le TCK, plutôt qu'autre chose ? Pour répondre à cette question il est nécessaire de quitter la cinématique, et de faire de la physique.

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Jusqu'ici, dans ce blog, j'ai surtout parlé de cinématique, avec quelques références à la physique. Il m'importait de montrer que le TCK est une propriété de la nature. Ceci fait, il faut maintenant se demander pourquoi la nature semble privilégier le TCK. Il faut donc faire de la physique, et plus uniquement de la cinématique.
En réalité j'ai débuté mes travaux par la partie que je vais présenter à partir d'aujourd'hui. Mais cette partie est moins attrayante pour un lectorat non spécialiste. C'est pourquoi j'ai voulu d'abord présenter les résultats de mes travaux sur la gravitation, qui sont de nature plus abordable. Mais après cet échauffement, il est temps de rentrer dans le dur. Je vais néanmoins tâcher de rester lisible.

Décevante mécanique quantique

Lors de mes études de chimie, j'ai attendu longtemps (la 4ème année) pour qu'on m'enseigne enfin les premiers rudiments de Mécanique Quantique (MQ). J'étais impatient de découvrir ce que tous décrivaient comme un miracle théorique. Je rêvais de pouvoir calculer, grâce à elle, le résultat d'une réaction chimique, sans avoir à en faire l'expérience au laboratoire.

Quelle ne fut pas ma déception ! A part résoudre l'équation de Schrödinger, seulement pour l'atome d'hydrogène, les calculs à envisager avec la MQ, pour traiter d'une réaction chimique, étaient d'une totale utopie. On ne sait pas résoudre analytiquement la fameuse équation de Schrödinger, s'il y a plus de deux particules. Pire encore, les orbitales électroniques hydrogénoïdes, proposées par la MQ, étaient orthogonales pour des atomes, comme le carbone, qui forment des molécules … tétraédriques. Mon rêve de calculateur de réactions chimiques s'éloignait.

Il était incroyable de constater qu'au laboratoire on utilisait avec succès des modèles éclatés, boules et bâtonnets, pour comprendre les propriétés des molécules, mais que la MQ nous interdisait de le faire. On ne peut en effet jamais être certain de la position d'une particule en MQ, toute représentation 3D classique y est interdite. Je me suis donc dit que la Mécanique Classique (MC), les boules et les bâtonnets, avait peut-être encore quelques secrets à livrer, et que, pourquoi pas, elle pourrait nous apprendre plus sur la structure de l'atome que la MQ. Sûr que tout le monde disait la MC incapable d'expliquer l'atome, arguments à l'appui, mais était-on certain qu'on avait bien fouillé dans tous les recoins ? Je me suis donc intéressé aux fondements de la MC, car s'il y avait un problème, autant commencer à chercher par la base.

Mécanique lagrangienne

J'y ai passé trois ans, et c'est durant ma thèse au Royaume Uni, que j'ai fini par mettre le doigt sur un défaut d'un des postulats de la mécanique classique. Pour bien comprendre, il faut rappeler ce qu'est la physique classique, ce que sont ses bases fondatrices.

La physique classique est basées sur trois postulats initiaux :

• Le premier consiste à dire que les propriétés physiques d'un système sont représentables par une formule de mathématique. Seules les propriétés physiques sont concernées, c'est à dire les propriétés mesurables et objectives expérimentalement. Les autres propriétés telles que le spirituel, la créativité, l'âme, … ne sont pas prises en compte en physique. Quoi qu'il en soit, le physicien considère qu'une formule mathématique est capable de décrire toutes les propriétés physique d'un système. Cette formule est la fonction de Lagrange, usuellement notée $L$, encore appelée lagrangien .

• Le second postulat quant à lui concerne l'indépendance de la vitesse, de la position, et du temps. Prenons un exemple imagé. Je peux, avec ma voiture, passer à une position donnée à n'importe quelle heure. La position et le temps sont donc indépendants. Je peux aussi y passer à 50km/h, ou à 70km/h, à n'importe quelle heure, et sur n'importe quelle autre position. La vitesse est donc indépendante du temps et de la position. La position, la vitesse et le temps étant indépendants, la fonction de Lagrange devra dépendre a minima de ces trois paramètre. On écrit alors $L=L(\vec v, \vec r, t)$

• Le troisième postulat est celui de moindre action. L'action est l'intégrale du lagrangien par rapport au temps :
  

  $S = \int_{t_0}^{t} L dt$
  
  Le postulat de moindre action stipule que la variation de l'action doit être nulle : $\delta S = 0$. En opérant une telle variation sur l'intégrale du lagrangien, ce qu'on appelle un calcul de variation, on montre qu'on aboutit à la relation suivante :
  
  $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}$
  
  et cela pour chaque dimension d'espace $q=x,y,z$. Ces équations sont appelées équations de Lagrange, ou équations du mouvement. Je renvoie le lecteur à l'ouvrage « Mécanique » de Lev Landau et Evgueni Lifchitz, pour plus de détails sur ce calcul.

Tout cela est bel et bien, mais comme je vous l'ai dit, un de ces postulats est faux. Je vais le montrer dans mon prochain article. C'est le second, et cela aura des conséquences sur la forme du lagrangien, mais aussi sur le calcul de variation propre au troisième postulat.

HCl

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Problème à N corps avec le TCK

Malheureusement le TCK ne donne pas plus de solution analytique au problème à N corps, que les lois de Newton. Son énoncé est cependant différent.

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Imaginons N corps de masses différentes $m_i$, et situées à la distance $\vec r_i$ du centre de masse du système total. Introduisons un corps test, à la distance $\vec r$ du centre de masse, et demandons-nous quelle sera sa trajectoire, sous l'influence des N autres corps. C'est la définition du problème à N corps.

On sait que les lois de Newton permettent d'établir l'équation différentielle, du second degré, à résoudre pour obtenir la trajectoire finale :

$\vec \gamma = -G \displaystyle\sum_{i=1}^N \frac{m_i}{\|\vec r - \vec r_i\|^3} (\vec r- \vec r_i)$

Dans cette équation $\vec \gamma$ est l'accélération du corps test, et $G$ est la constante universelle de la gravitation. L'accélération du corps test est la somme des accélérationsprovoquées par chacune des N particules.
Malheureusement nul ne connaît de solution analytique générale à cette équation. Seuls des calculs approchés et des approximations numériques peuvent donner un résultat, toujours cher en calcul.

Passons maintenant à la loi de rotation universelle. Nous avons vu qu'en intégrant cette relation on doit retrouver la vitesse de rotation du TCK. Dès lors le problème à N corps, façon TCK, s'énonce ainsi :

$\vec v_R = \displaystyle\sum_{i=1}^N \vec \omega_i \land (\vec r- \vec r_i)$
avec $\omega_i = \sqrt{\frac{G m_i}{\|\vec r - \vec r_i\|^3}}$

Cette relation est certes une équation différentielle du premier degré, mais elle n'est pas plus soluble analytiquement que la précédente, celle de Newton. C'est l'intégration du produit vectoriel qui pose ici problème.

La suite

Je finis ici ce cycle consacré à la gravitation. Je vais maintenant entamer un second cycle, qui parlera de physique. Il est temps en effet de se demander pourquoi la nature privilégie le TCK. Or je n'ai présenté (presque) que de la cinématique, sans réel étude de physique. Il faut maintenant voir, dans la mécanique lagrangienne, comment la physique prévoit le TCK.

HCl

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Loi de la rotation universelle

Lorsqu'une fronde tourne à bout de bras, est-ce parce que la corde est tendue que la pierre tourne, ou parce que la pierre tourne que la corde se tend ? La cinématique choisit la seconde solution, valable aussi pour le mouvement des astres.

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La loi de l'attraction universelle de Newton est basée sur l'accélération. En revanche le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) concerne les vitesses. Mais sa simple dérivation par rapport au temps, donne l'accélération suivante :

$\vec \gamma = -{\frac {L v_R}{r^3}} \vec r$

où L est le moment angulaire, $v_R$ est la vitesse de rotation du TCK, et $\vec r$ est le rayon vecteur.
Comme je l'ai déjà signalé, cette expression est cohérente avec la loi de l'attraction universelle de Newton, si

$L v_R = G M$

où G est la constante de la gravitation et M la masse du corps central.

En d'autres termes la cinématique nous indique que l'accélération de Newton n'est qu'une conséquence mathématique du TCK, c'est à dire de la cinématique. Ce n'est que l'accélération centripète inhérente au mouvement de rotation.

Loi de la rotation

Il est donc temps de poser la question suivante : est-ce l'accélération qui provoque la rotation, où la rotation qui provoque l'accélération ? La rotation des planètes est elle due à l'attraction, ou leur rotation induit-elle une force centripète ? Dans le cas d'une fronde qu'on fait tourner à bout de bras, est-ce parce qu'on tend la ficelle que la pierre tourne, ou parce que la pierre tourne que la ficelle se tend ? Quel est l'effet, et quelle est la cause ?

Mathématiquement le TCK est un précurseur de l'accélération de Newton, de plus il ne recèle aucun postulat puisque ce n'est qu'une propriété cinématique. A l'inverse, Newton doit poser un postulat, celui de l'attraction universelle, qui est certes excellent, mais qui reste un postulat. Et il pose problème, intuitivement. En effet, on peut se demander pourquoi tous les astres de l'univers ne se sont pas agglutinés, puisqu'ils s'attirent entre eux et qu'ils ont eu largement le temps de le faire. A cela les théories actuelles répondent qu'il existerait une autre force, d'expansion, qui contrecarrerait l'attraction. Bref, la loi de l'attraction universelle soulève de nombreux problèmes, tandis que le TCK se suffit à lui même.

Je propose donc de remplacer la loi de l'attraction universelle, par la loi de rotation universelle. Deux corps entre eux ne s'attirent pas, ils entrent en rotation, autour de leur centre de masse. La force centripète résultante n'est autre que l'accélération de Newton. Les corps tournent les uns autour des autres, ils ne s'attirent pas.

A chaque accélération newtonienne $\vec \gamma = -{\frac{GM}{r^3}} \vec r$, doit correspondre une vitesse de rotation ${\vec v}_R = \vec \omega \land \vec r$, avec $\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$.

Du coup, on explique mieux pourquoi les astres tournent, effectivement, les uns autour des autres dans l'univers, au lieu de s'agglutiner. On n'a plus besoin non plus d'engager une nouvelle force, d'expansion, aux propriétés étranges. Ne me faites pas dire, cependant, que l'univers n'est pas en expansion, ce 'est pas mon propos ici.

Postulat

Il faut bien sûr se demander si la loi de la rotation ne possède pas le même défaut que la loi d'attraction, à savoir que ce serait un postulat.

J'ai montré que tous les astres, respectant les lois de Kepler, ont une vitesse décrite par le TCK, ce que vérifie l'expérience. Je peux donc dire avec certitude que la loi de la rotation est une propriété cinématique vérifiée par la nature. De plus elle prévoit, par dérivation, la loi d'attraction. Néanmoins, ce ne sont pas des raisons suffisantes pour affirmer avec certitude que le TCK est LA loi fondamentale de la nature. Elle est certes vérifiée en première approximation, et donne la loi d'attraction, par dérivation, mais rien ne s'oppose à ce que le TCK ne soit qu'une partie de la vérité.

J'assume donc la loi de la rotation comme un postulat. J'avais pourtant promis de ne pas en poser. Je le fais néanmoins car poser ce postulat n'est qu'une proposition de terminologie, sans influence sur la réalité cinématique. Il s'agit d'un point de vue conceptuel qui ne sert que d'appui à la discussion.

HCl

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Unification de la gravitation et de l'électromagnétisme

Le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) dit que la force de gravitation est de nature différente de la force mécanique. Tout comme l'électromagnétisme dit que la force magnétique est de nature différente de la force électrique. Cette coïncidence n'est pas fortuite.

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Lorsque j'ai démontré que le principe d'équivalence était faux, j'ai évoqué la différence de nature qui existe entre la force gravitationnelle et la force mécanique. Le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) s'accorde bien avec cela. Il décompose en effet la vitesse globale en une vitesse de rotation, et une vitesse de translation. Or pour un satellite, la vitesse de rotation est provoquée par la force de gravitation, tandis que la vitesse de translation est provoquée par la poussée mécanique d'un moteur, ou d'un choc. Ce sont bien deux causes de natures différentes.

Cela ne vous rappelle rien ? La situation est très similaire à celle de l'électromagnétisme où deux forces de natures différentes coexistent : la force magnétique, et la force électrique.

Force électromagnétique

Une telle coïncidence , entre la gravitation et l'électromagnétisme, serait-elle fortuite ? Pas du tout. Je vais vous démontrer que la gravitation et l'électromagnétisme ont le TCK en commun.

Dans ce qui suit je ne vais plus considérer forcément que la vitesse de translation $v_T$, dans la formule du TCK, comme constante, mais pouvant prendre n'importe quelle valeur, ceci afin d'étendre notre point de vue.
La dérivée de la vitesse par rapport au temps est l'accélération, or la vitesse définie par le TCK est donnée par $\vec v = \vec \omega \land \vec r + \vec v_T$. Dérivant cette expression par rapport au temps on obtient $\vec \gamma = \vec {\dot \omega} \land \vec r+ \vec \omega \land \vec v + \vec \gamma _T$, où $\vec \gamma _T$ est la dérivée de $\vec v_T$ par rapport au temps, c'est l'accélération de translation. Il es intéressant d'écrire la dernière expression de l'accélération sous une autre forme, à savoir :

$\vec \gamma = (\vec {\dot \omega} \land \vec r + \vec \gamma _T) + \vec v \land (-\vec \omega )$

On sait en effet que la force est la masse que multiplie l'accélération, $\vec F = m \vec \gamma$, dès lors, en multipliant la dernière expression par la masse du système, il est possible d'écrire la force, que subit ce dernier lorsqu'il respecte le TCK, sous la forme suivante :

$\vec F = \vec E + \vec v \land \vec H$ avec $\vec E = m\vec {\dot \omega} \land \vec r + m\vec \gamma _T$, et $\vec H = -m \vec \omega$ (1)

Cette expression de la force est exactement celle de la force de Lorentz, ou force électromagnétique, à condition que $\vec E$ soit le champ électrique, et $\vec H$ le champ magnétique.

En sens inverse, il est simple de voir que l'intégration de la force de Lorentz conduit bien à l'expression mathématique du TCK.

Il y a donc un point commun, cinématique, entre la gravitation et l'électromagnétisme : le TCK. La force de gravitation est assimilable à une force magnétique, tandis que la force mécanique est assimilable à une partie du champ électrique.

Unification

Le problème de l'unification de la gravitation et de l'électromagnétisme se pose depuis très longtemps. On savait que les forces électriques et magnétiques étaient de natures différentes, mais on pensait en revanche que la force gravitationnelle était équivalente à la force mécanique (principe d'équivalence). C'était deux mondes séparés : un monde à deux forces, l'autre à une seule. Pourtant, si on souhaitait les unifier il fallait bien que l'une se torde aux impératifs de l'autre, d'une façon ou d'une autre, ou bien d'une échelle à une autre, pourquoi pas quantique. On était plein de questionnement.

Le TCK apporte la réponse. Ce sont nos théories de la gravitation qui se trompaient. On a bien deux forces de natures différentes pour la gravitation, comme pour l'électromagnétisme.

Ce n'est pas pour autant que l'électromagnétisme apparaît en vainqueur incontesté. Il faut en effet maintenant revoir drastiquement nos conceptions de ce que sont l'électricité et le magnétisme, notamment l'existence d'une charge élémentaire. Selon l'équation (1) le champ électrique est nul pour un mouvement circulaire uniforme. Il n'apparaît que si une force non gravitationnelle $\vec \gamma _T$ apparaît. Ainsi un mobile, de la taille d'un électron par exemple, sur une orbite circulaire ne doit pas exhiber de champ électrique …

Un électron sans champ électrique, est-ce possible ? La cinématique nous dit oui. Sans hypothèse, sans théorie, juste par la dérivation mathématique du TCK.

HCl

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Rotation des galaxies selon le TCK

Si l'expérience ne vérifie pas votre théorie, c'est à cause du perlimpinpion, particule sombre et indétectable, dont la présence fausse le résultat de la mesure. Ou alors, mais il ne serait pas raisonnable de l'imaginer, votre théorie est fausse.

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Nous allons voir ici que le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) s'applique à de vastes échelles, car il permet d'expliquer la vitesse de rotation des galaxies, sans ajouter de poudre de perlimpinpin, pour devenir cohérent avec les mesures expérimentales.

Le problème de la matière noire

Dans les années 1930, l'astrophysicien Fritz Zwicky se mit en tête de vérifier si la vitesse de rotation des galaxies respecte bien les lois de la gravitation de Newton. La surprise fut que ce n'est pas le cas. La figure suivante montre le résultat expérimental, et le résultat attendu, de la mesure des vitesse de rotation des galaxies. Les lois de Newton prévoient que, plus une étoile sera éloignée du centre de la galaxie, et moins sa vitesse sera grande. Mais l'expérience montre que la vitesse reste constante, au lieu de diminuer.

L'axe des X de ce graphique est la distance au centre de la galaxie, l'axe des Y est la vitesse des étoiles qui s'y trouvent. La courbe en pointillés est celle attendue avec la théorie de la gravitation de Newton. La courbe en rouge est celle mesurée expérimentalement.

Alors on décide quoi ? On peut d'abord se dire que les lois de Newton ne sont plus valables à de telles échelles. On peut aussi se dire que, non, sans aucun doute, ce génie du XVIIème siècle, qui ne savait même pas que les galaxies existaient, ne peut en aucun cas s'être trompé, car il s'appelle tout de même Isaac Newton. Il faut donc trouver une façon de sauver la théorie du grand homme, par exemple en ajoutant, savamment, une matière invisible, inconnue, indétectable, la «matière noire» … mais qui représenterait 70 % de la masse de l'univers.

C'est ce second choix qui a été fait. Bien sûr, depuis on cherche toujours, sans succès, à détecter cette «matière noire».

Energie cinématique

Voyons maintenant l'explication des mesures expérimentales, que peut donner le TCK. Pour cela il faut d'abord définir l'énergie cinématique.

Si on élève le TCK, c'est à dire $\vec v = \vec v_R +\vec v_T = \vec \omega \land \vec r + \vec v_T$, au carré, on peut définir un terme E, que je nomme «énergie cinématique», tel que :

$E = \frac 12 v^2 - \frac {L v_R}{r} = \frac 12 v_R^2 (e^2-1)$(1)

Puisque $v_R$ est une constante, E est une constante. Tout l'intérêt de E est que sa multiplication simple par la masse m du système donne son énergie mécanique $E_M$, telle que décrite en mécanique classique. En se rappelant que nous avons établi la relation $L v_R = GM$ :

$E_M = m E = \frac 12 m v^2 - \frac {GmM}{r}$(2)

L'énergie cinématique est donc un paramètre crucial du mouvement. A cause de l'équation (1), à excentricités e égales, tous les mobiles qui possèdent une même énergie cinématique $E_{0}$, ont la même vitesse de rotation $v_{R0}$, quelle que soient leurs masses, et quelle que soient leurs distances r au foyer de leurs coniques. Or c'est exactement cela que montre la mesure de la vitesse de rotation des galaxies.

Rotation galactique

Je viens d'évoquer la vitesse de rotation, «à excentricité égale». Ce que je veux dire par là, c'est «sans contrainte sur la vitesse de translation $v_T$». Or nous avons vu dans mon article précédent que, pour un corps à la surface d'une planète, les forces de frottement sont portées par cette même vitesse de translation. Il faut donc voir $v_T$ comme la mesure des contraintes imposées au mouvement gravitationnel naturel, qui, lui, est caractérisé par la vitesse de rotation $v_R$. Moins il y aura de contraintes ($v_T \approx 0$) et plus le mobile adoptera un mouvement circulaire uniforme.

On imagine bien que les étoiles qui sont au centre de la galaxie, dans le bulbe, sont en forte interaction les unes avec les autres, car elles évoluent dans un espace réduit. Elles doivent donc avoir une $v_T$ grande, statistiquement. En revanche, les étoiles du disque galactique sont plus éparses, et donc moins en interaction avec leurs voisines. Elle ont une $v_T$ faible, statistiquement. Le mouvement de ces étoiles externes sera donc avant tout décrit par leur vitesse de rotation $v_R$. Et si, de plus, elles sont toutes soumises à la même énergie cinématique, par exemple, la seule disponible dans l'espace autour d'une galaxie, alors cette vitesse $v_R$ sera la même pour toutes les étoiles. C'est bien ce que montre la mesure expérimentale.

Pour la cinématique, il n'y a donc pas plus de matière noire que de beurre en broche. Elle n'en a aucun besoin pour expliquer l'expérience. Ce qui n'est pas le cas des lois de Newton, qui montrent ici une de leurs limites.

Dans mon prochain article je parlerai de l'unification de la gravitation et de l'électromagnétisme, grâce au TCK.

HCl

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Chute des corps selon le TCK

Ce n'est pas la Lune qui tombe vers la Terre, comme la Pomme, Monsieur Newton. C'est la pomme qui tourne autour de la Terre, comme la Lune.

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Dans mon article «L'inéquivalence d'Einstein», j'ai montré que le principe d'équivalence est faux. Par suite, la chute des corps, dans un champ de gravitation, doit être différente de la chute des corps dans, un champ d'accélération mécanique, la poussée d'un moteur par exemple. Je vais détailler tout cela ici, et réaliser les démonstrations que j'avais laissées en suspend dans mon article précédent.

A la surface de la planète

Que dit le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) pour un objet posé à la surface de la Terre ?. Simplement que sa vitesse, relative à la planète, est nulle. Dans ces conditions, la vitesse de translation doit compenser la vitesse de rotation. En effet,

si $\vec v = \vec v_R + \vec v_T = \vec 0$, alors il faut $\vec v_T = - \vec v_R$.

On voit clairement que la gravitation nous procure une vitesse de rotation $\vec v_R$, mais que les «frottements» procurent une vitesse inverse $\vec v_T$. Ces frottements sont simplement l'embouteillage de tous les corps, qui souhaitent graviter, eux aussi, autour du centre de masse de la planète. Ces frottements, c'est la réaction du sol qui nous empêche de nous précipiter vers le centre de la Terre.

Alors que se passe-t-il si on soulage le corps d'un peu de ces contraintes de frottement ? On peut le faire, par exemple en laissant tomber une balle d'une hauteur d'homme. La balle n'est alors plus freinée par les frottements du sol, même si elle l'est un peu par la viscosité de l'atmosphère. Ce faisant, on diminue très légèrement la vitesse de translation $v_T$. La balle peut alors suivre une conique selon l'équation décrite dans un précédent article :

$\frac{L}{v_R} = r (1+\frac{v_T}{v_R}cos \theta)$

Dans cette formule, L est le moment angulaire, et $\theta$ est l'angle que font $v_R$ et $v_T$ entre eux. Le rapport $e=v_T / v_R$ test l'excentricité de la conique. Pour la balle qu'on fait chuter, puisque $v_T$ est très légèrement inférieure à $v_R$, e doit tendre vers 1 par valeur inférieure. Ainsi la formule précédente, de la conique, devient

$\frac{L}{v_R} \approx r (1+cos \theta)$

La trajectoire de la balle qu'on lâche à hauteur d'homme, est donc une quasi parabole, dont le centre de la Terre (en réalité le centre de masse Terre/balle) est le foyer. La balle se comporte donc comme tout autre corps vis à vis de la Terre : elle suit une conique dont le centre de la planète est le foyer.

Tous les corps, de la balle lâchée à hauteur d'homme, au satellite, en passant par l'astéroïde, se comportent de la même façon dans le champ de gravitation de la Terre : ils orbitent tous autour d'elle, sur des coniques. Certaines coniques imposent un crash, car la Terre possède un volume, et ne peut pas être réduite à un point mathématique, placé en son centre.

Un simple problème de précision de la mesure

Reprenons maintenant l'expérience de pensée d'Einstein, celle des ascenseurs, dont que j'ai décrite dans mon article «L'inéquivalence d'Einstein». Un astronaute est dans une capsule spatiale sans hublot. Il lâche une balle à l'intérieur et constate qu'elle tombe vers le sol. Il peut savoir si l'accélération qu'il constate est une accélération de la pesanteur, ou une accélération mécanique, comme celle de la poussée d'un moteur. En effet, dans le premier cas la balle chutera sur une parabole, dont le centre de la planète est le foyer, dans le second, elle chutera en ligne droite.

Malheureusement, vu sa distance au foyer lorsqu'il lâche la balle, 6371 km pour la Terre, la parabole qu'il constate sur la courte distance d'une hauteur d'homme, est localement très proche d'une droite. Il faudra donc à l'astronaute un moyen de mesurer la trajectoire qui soit extrêmement précis, pour se déterminer.

Et Newton dans tout ça ? La théorie de la gravitation de Newton c'est l'attraction, en ligne droite, entre deux corps, en l'occurence, la balle qu'on lâche et la Terre. Elle prévoit donc pour la balle une trajectoire de chute, en ligne droite, jusqu'au centre de la Terre. Par conséquent, si nous possédons un moyen de mesure suffisamment précis, il sera possible de distinguer le TCK d'une chute prévue par les lois de Newton. Avis aux expérimentateurs.

L'écart entre la théorie de Newton et le TCK est très faible pour une balle qui tombe à hauteur d'homme, mais elle devient gigantesque sur de plus grandes échelles. Ainsi nous verrons dans mon prochain article que le TCK prévoit très simplement la cinématique des galaxies, quand les lois de Newton ont besoin de «matière noire» pour y parvenir.

HCl

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Exterminateur : le TCK plus fort que Bruce Willis

Si un astéroïde exterminateur menaçait la Terre, saurions nous la protéger ? Non, pas avec les lois de Newton. Oui, avec le théorème de la cinématique keplerienne. Le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) fait aussi bien que Bruce Willis, mais là, ce n'est pas du cinéma.

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Dans les billets précédents je vous ai présenté le théorème de la cinématique keplerienne (TCK), et ce qu'il pouvait faire, quand les lois de Newton (LN) ne le peuvent pas. Je vais ici évoquer un cas particulier qui associe tous les avantages du TCK au regard des LN. C'est celui d'un astéroïde exterminateur, menaçant la Terre.

Imaginez donc un astéroïde de plusieurs kilomètres de diamètre, fonçant vers la Terre. S'il vient du côté soleil, étant éblouis, nous ne le découvririons que peu de temps avant qu'il ne croise le parage de la Terre, disons une semaine. Avec une telle taille ce genre de météorite peut provoquer une extinction massive des espèces vivantes. C'est exactement ce qui est arrivé aux dinosaures. Vous imaginez donc le tableau.

Heureusement, nous avons Bruce Willis, mais il se fait vieux, et on ne pourra pas toujours compter sur lui. Il faut donc regarder ce que la science a dans sa besace, et qui pourrait nous sauver la mise. Nous n'avons que deux boîtes à outils : les LN et le TCK.

Un astéroïde exterminateur menaçant la Terre

D'abord savoir s'il y aura impact ...

Que peut-on faire avec les LN ? Comme je l'ai expliqué dans un billet précédent, les LN ne nous permettent pas de tracer la trajectoire future de l'astéroïde, tant qu'on ne le voit pas passer à son apogée, ou à sa périgée. Si ces points de sa trajectoire sont situés après un impact éventuel avec la Terre, il est impossible de calculer sa trajectoire future de façon analytique. Nous sommes donc dans l'incapacité de même savoir si l'impact aura bien lieu.

Il existe cependant des codes d'approximation numériques, qui, alliés à suffisamment de mesures (plusieurs jours dans notre cas) peuvent établir des probabilités, pour différents scénarios possibles. Nous ne serions donc pas totalement désarmés, mais une telle imprécision rendra problématique l'interception du météore, comme nous le verrons plus loin.

Que peut-on faire avec le TCK ? Comme je l'avais expliqué, la seule mesure de la position, et de la vitesse, à un instant t, nous permet de calculer instantanément la trajectoire future. Nous pouvons donc calculer, très précisément s'il y aura, ou non, un impact avec la Terre. Nous pouvons dire quand il aura lieu, et le vecteur vitesse de l'astéroïde au moment du choc.

Grâce au TCK nous gagnons donc, drastiquement, du temps, et de la précision.

... ensuite atteindre la cible

Cependant, une fois qu'on est certain qu'il y aura impact avec l'astéroïde, on doit s'en prémunir. La technique la plus simple consiste à faire exploser une bombe à proximité, pour le dévier de sa trajectoire. Malheureusement un tel souffle peut aussi le fracturer, il faudra donc être prêt à recommencer avec chacun des morceaux, et ainsi de suite.

Puisque les LN ne nous permettent que d'obtenir des probabilités de trajectoires, il faudra envoyer plusieurs bombes, en fonction de ces probabilités. Il est clair qu'on sera dans le flou le plus complet. Si, par chance, on parvient à une première explosion efficace, mais qu'elle casse le cailloux en plusieurs morceaux, l'affaire devient impossible. On n'aura jamais le temps nécessaire pour calculer toutes les probabilités pour tous les morceaux, et d'envoyer de nouvelles bombes. Quant à tirer une troisième, quatrième ou cinquième salve, ne rêvez pas.
En fait la situation est même pire. Pour expédier la première bombe, on se retrouve dans le cas, en gros, de la capsule qui doit rejoindre la station spatiale (voir mon dernier billet). Il nous faudra donc attendre la «fenêtre de tir», qui a une probabilité quasi nulle d'intervenir avant l'impact. C'est pour ça que la solution Bruce Willis est tout aussi valable.
Ah, mais non, car pour envoyer Bruce sur l'astéroïde, il faudra aussi attendre la fenêtre de tir …

En revanche, le TCK nous a donné la trajectoire exacte, le point et l'heure de l''impact, ainsi que le vecteur vitesse du météore en ce point. Grâce au transfert de Hohmann amélioré, nous n'avons besoin d'attendre aucune fenêtre de tir, et nous savons calculer la trajectoire de la bombe pour atteindre très exactement sa cible. Je rappelle l'existence de mon simulateur, que vous pouvez tester, pour vous assurer de tout ce que j'affirme ici. Si l'astéroïde se scinde en mille morceaux, nous pourrons sans aucun problème, et instantanément, calculer les trajectoires au but de mille bombes. Nous aurons alors une semaine pour arroser le météore jusqu'à ce qu'il ne soit plus que poussière avant l'impact.

Le TCK est donc d'une importance cruciale. Pour la première fois depuis l'apparition de la vie sur Terre, cette dernière peut se protéger des exterminateurs qui l'ont tant agressée par le passé, au risque même de la faire disparaître. Pardonnez mon lyrisme, mais il ne s'agit plus de cinéma, c'est la réalité de ce que procure le TCK, associé, bien sûr, à nos technologies aérospatiales et militaires.

HCl

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Toujours mieux que Newton : le transfert sans fenêtre de tir

Le temps le plus court, pour rejoindre la station spatiale, est de 6 heures, un exploit russe, à condition d'avoir attendu (longtemps) la bonne fenêtre de tir. Le Théorème de la Cinématique Keplerienne (TCK) permet de le faire en moins de deux heure, sans attendre de fenêtre de tir.

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Je vais consacrer le présent billet à un autre avantage du théorème de la cinématique keplerienne (TCK), au regard des lois de la gravitation de Newton (LN). Cette fois il va s'agir de certaines trajectoires spatiales dites « de transfert ». Un problème crucial de la mécanique spatiale, tant pour aller sur mars que pour positionner des satellites.

Les problèmes du transfert spatial

Imaginez la station spatiale internationale (ISS), située en gros à 400 km d'altitude, et un équipage d'astronautes devant la rejoindre. La première phase de l'opération consiste à lancer la fusée, puis à larguer la capsule des astronautes sur une orbite basse, disons à 150km d'altitude. Une fois cela réalisé, il faut passer à une seconde phase du vol : le transfert de l'orbite basse vers l'orbite haute de l'ISS. Et c'est là que les choses se compliquent.

A chaque orbite, circulaire pour simplifier, correspond une vitesse de rotation autour de la Terre qui est unique, et identique, pour tous les corps, quelle que soit leur masse. Cela fait que, si on envoie la capsule sur l'orbite haute, mais pas exactement sur la position de l'ISS, les deux vaisseaux spatiaux tourneront indéfiniment autour de la Terre, sur la même trajectoire, mais sans jamais se rejoindre.
Qu'à cela ne tienne, me direz-vous peut-être, il n'y a qu'à accélérer la capsule sur cette même orbite circulaire, qui est aussi celle de l'ISS. Ainsi la capsule finira par rejoindre la station. Hélas, cela n'est pas possible, comme je l'ai expliqué dans mon premier billet intitulé « L'inéquivalence d'Einstein ». Cette méthode de rendez-vous n'est pas utilisable dans la réalité, car le principe d'équivalence d'Einstein est faux.

Problème supplémentaire, que j'ai expliqué dans mon billet précédent, le calcul de trajectoire avec les LN n'est faisable qu'en connaissant au moins la périgée ou l'apogée. Ainsi, et en vous passant les détails, on ne connaît qu'une seule méthode de transfert, dont les équations sont connues analytiquement : le transfert de Hohmann. Il est représenté sur la figure suivante. La capsule doit emprunter une ellipse de transfert, dont la périgée est située sur l'orbite basse, et l'apogée sur l'orbite haute.

Transfert de Hohmann d'une orbite basse à une orbite haute. La trajectoire débute, obligatoirement, à la périgée $r_{H0}$ et finit, obligatoirement, à l'apogée $r_{H1}$ de l'orbite elliptique de transfert.

Donc lorsque la capsule arrivera sur l'orbite haute, à l'apogée de son orbite de transfert, il faudra absolument que l'ISS se trouve à cette même position, sinon le rendez-vous sera raté. Ces contraintes font que la capsule ne pourra décoller de son orbite basse que dans une « fenêtre de tir » assurant une arrivée synchrone avec l'ISS. C'est la fameuse « fenêtre de tir », dont vous avez certainement déjà entendu parler, qu'il s'agisse de rejoindre l'ISS, ou la planète Mars, car le problème est identique. Parfois, pour atteindre une planète il faut attendre la fenêtre des jours, des mois, et même des années. C'est une contrainte forte, mais incontournable, avec les LN.

Le TCK à la rescousse

En revanche, le TCK permet de s'affranchir de la fenêtre de tir. Je ne vais pas ici vous donner l'explication mathématique de cette nouvelle méthode, renvoyant ceux qui s'y intéressent à ce document, mais je vais vous la décrire.

Je nomme ce nouveau type de transfert « transfert de Hohmann amélioré » car, lui aussi, s'achève à l'apogée d'une orbite elliptique. En revanche il est « amélioré » car la capsule n'a plus à se trouver à la périgée de l'ellipse pour décoller de l'orbite basse. Elle peut le faire à tout instant, quelle que soit sa position sur l'ellipse de transfert. On s'affranchit ainsi de la fenêtre de tir. La figure suivante compare l'approche de Hohmann avec celle du TCK.

Transfert d'une orbite basse à une orbite haute. La trajectoire rouge est celle de Hohmann, débutant à la périgée $r_{H0}$ et finissant à l'apogée $r_{H1}$. La trajectoire en bleu est un exemple de celles permises par le TCK. Elle débute à n'importe quelle position $r_0$, de l'orbite basse, pour aboutir à n'importe quel position $r_1$, de l'orbite haute, qui est néanmoins l'apogée de l'ellipse de transfert.

Dans certaines situations cependant, l'ellipse de transfert préconisée impose un crash de la capsule sur la Terre. Si la Terre était un point mathématique, ça passerait, mais comme elle possède un volume, il y aura forcément crash. Il y a donc une « zone d'ombre » qui ne permet pas, en pratique de lancer la capsule. Mais cette zone est réduite et sa contrainte est bien plus légère que celle de la fenêtre de tir. Pour un le transfert vers l'ISS qui nous intéresse, cette zone d'ombre sera levée en moins d'une demie heure d'attente.

J'ai construit un simulateur de rendez-vous qui applique ce principe. Vous pouvez l'utiliser à loisir. Vous remarquerez qu'il fonctionne sur des orbites de départ et d'arrivée circulaires, ou pas. Vous pouvez indiquer la position, l'intensité et la direction de la vitesse, pour la capsule et pour la station, puis le système calculera la trajectoire de transfert amélioré. C'est le seul calculateur de trajectoires de transfert synchrone capable de déterminer de telles trajectoires, car c'est le seul à être basé sur le TCK, et pas sur les LN.

Tout cela est fort bien, mais à quoi ça sert en pratique ? Par exemple à rejoindre l'ISS en moins de deux heures, lancement compris, ce qui est utile s'il y a un gros problème, urgent, là haut. Envoyer une sonde inter planétaire sans attendre la fenêtre de tir, intercepter au plus vite un satellite ennemi, etc.

Mais il y a plus important encore. Je consacrerai mon prochain billet à un évoquer un problème crucial, qui nous concerne tous : sauver l'humanité d'un astéroïde exterminateur qui menacerait la Terre. Nous verrons que les LN en sont incapables, mais que le TCK le peut.

HCl

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